Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t .
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: 
если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (a 1 , a 2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa 1 + Вa 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям.
Основные понятия
Линия на плоскости часто задается как множество точек , обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(х; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии .
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х о; у о) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Пример 10.1 . Лежат ли точки К(-2;1) и Е(1;1) на линии 2х + у +3 = О?
Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2. (-2) + 1 +3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка Е не лежит на данной линии, т. к.
2·1+1+3≠0Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (х;у) = 0 и F 2 (х;у)=0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F 1 (х;у) = 0
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.
Уравнение F(r,φ) = 0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат , если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
где х и у - координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, t - переменная, называемая параметром; параметр определяет положение точки (х; у) на плоскости.
Например, если х = + 1, у = t 2 , то значению параметра t 2 соответствует на плоскости точка (3; 4),
т.к. х = 2 + 1 = 3, у = 2 2 = 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t - скалярный переменный параметр. Каждому значению t 0 соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора ) опишет некоторую линию
Векторому уравнению линии в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , а линия - траекторией точки, параметр t при этом есть время .
Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(х;у) = 0.
Всякому уравнению вида F(х;у) = 0соответствует некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (могут быть и исключения).
Уравнение линии на плоскости
Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.
Если выразить в этом уравнении , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках
Где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Пусть заданы две прямые и .
Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.
Так как 
, то угол между этими прямыми находится по формуле
Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии
Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле
Нормальное уравнение окружности:
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
. Вершинами эллипса называются точки , , ,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
Прямые называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.
Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и .
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение параболы
Прямая называется директрисой, а точка – фокусом.
Понятие функциональной зависимости
Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.
Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.
Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.
Существуют следующие способы задания функции
1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
Эта статья является продолжением раздела прямая на плоскости . Здесь мы перейдем к алгебраическому описанию прямой линии с помощью уравнения прямой.
Материал данной статьи является ответом на вопросы: «Какое уравнение называют уравнением прямой и какой вид имеет уравнение прямой на плоскости»?
Навигация по странице.
Уравнение прямой на плоскости - определение.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy и в ней задана прямая линия.
Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.
Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y , которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.
Осталось разобраться с вопросом, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости. Ответ на него содержится в следующем пункте статьи. Забегая вперед, отметим, что существуют различные формы записи уравнения прямой, что объясняется спецификой решаемых задач и способом задания прямой линии на плоскости . Итак, приступим к обзору основных видов уравнения прямой линии на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x
и y
вида , где А
, В
и С
– некоторые действительные числа, причем А
и В
одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy
на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида 
.
Уравнение называется общим уравнением прямой
на плоскости.
Поясним смысл теоремы.
Заданному уравнению вида соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида .
Посмотрите на чертеж.
С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида 
, так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением , дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.
Общее уравнение прямой называется полным
, если все числа А
, В
и С
отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным
. Неполное уравнение прямой вида определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0
уравнение задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox
, а при В=0
– параллельную оси ординат Oy
.
Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А , В и С .
Нормальный вектор прямой , заданной общим уравнением прямой вида , имеет координаты .
Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.
Рекомендуем к дальнейшему изучению статью . Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках . Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.
Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки 
и соединяем их.
Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент). Уравнения прямой с угловым коэффициентом нам хорошо известны из курса алгебры средней школы. Такой вид уравнения прямой очень удобен для исследования, так как переменная y представляет собой явную функцию аргумента x.
Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
Определение.
Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки.
Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю.
Определение.
Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, .
Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент обращается в бесконечность (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент не существует). Другими словами, мы не можем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом для прямой, параллельной оси Oy или совпадающей с ней.
Заметим, что прямая, определяемая уравнением , проходит через точку на оси ординат.
Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .
В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон 
радиан (60
градусов) к положительному направлению оси Ox
. Ее угловой коэффициент равен .
Отметим, что очень удобно искать именно в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
в прямоугольной декартовой системе координат Oxy
имеет вид 
, где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.
Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .
Для примера изобразим на плоскости прямую линию, соответствующую каноническому уравнению прямой вида 
. Очевидно, что точка принадлежит прямой, а вектор является направляющим вектором этой прямой.
Каноническое уравнение прямой вида используют даже тогда, когда одно из чисел или равно нулю. В этом случае запись считают условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как 
. Если , то каноническое уравнение принимает вид 
и определяет прямую, параллельную оси ординат (или совпадающую с ней). Если , то каноническое уравнение прямой принимает вид 
и определяет прямую, параллельную оси абсцисс (или совпадающую с ней).
Детальная информация об уравнении прямой в каноническом виде, а также подробные решения характерных примеров и задач собраны в статье .
Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Параметрические уравнения прямой на плоскости
имеют вид 
, где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.
Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).
Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем 
, то есть, точка с координатами лежит на прямой.
Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L.
Определение . Уравнение F(x;y)=0 (1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.
Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).
Уравнение (1) определяет линию L.
Пример. Уравнение окружности.
Окружность – множество точек, равноудаленных от заданной точки М 0 (х 0 ,у 0).
Точка М 0 (х 0 ,у 0) – центр окружности .
Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ 0 =R (R=const)
ММ 0 ==R
(х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 =R 2 –(2) – уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ,у 0).
Параметрическое уравнение линии.
Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t:
(3) – параметрическое уравнение линии в ДСК
где функции (t) и (t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра).
Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1).
Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=(t) и у=(t) времени t.
Пример . Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.
Тогда x=r cos x y=r sin t. (4)
Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0t2.
Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2).
2. Полярная система координат (пск).
Выберем на плоскости ось L (полярная ось ) и определим точку этой оси О (полюс ). Любая точка плоскости однозначно задается полярными координатами ρ и φ, где
ρ
– полярный
радиус
,
равный расстоянию от точки М до полюса
О (ρ≥0);
φ –угол между направлением вектора ОМ и осью L (полярный угол ). М(ρ; φ)
Уравнение линии в ПСК может быть записано:
ρ=f(φ) (5) явное уравнение линии в ПСК
F=(ρ; φ) (6) неявное уравнение линии в ПСК
Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
(х;у)
(ρ;
φ)
Из треугольника ОМА:
tg φ=(восстановление угла φ по известному тангенсу производится с учетом того, в каком квадранте находится точка М).(ρ; φ)(х;у). х=ρcos φ, y= ρsin φ
Пример . Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).
Для М:=5, φ=arctg (4/3). Для Р: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.
Классификация плоских линий.
Определение 1. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется уравнением F(x;y)=0 (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен.
Определение 2. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной .
Определение 3 . Алгебраическая линия называется линией порядка n , если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен n-й степени.
Т.о., линией n-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени n с двумя неизвестными.
Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.
Теорема (док-во на с.107). Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.
